Question

一只半径为R的球放在桌面上，桌面上一点A的正上方相距（+1）R处有一点光源O，OA与球相切，则球在桌面上的投影——椭圆的离心率为 ．

 

Answer 1

【解析】

试题分析：根据圆曲线的第一定义，作出过圆锥的轴与椭圆长轴AA′的截面，可得直角三角形AOA′，结合已知求出椭圆的a值，再根据椭圆的几何性质，求出c，即可求出椭圆的离心率．

【解析】
如图是过圆锥的轴与椭圆长轴AA′的截面，

ED两点为过点O引圆D的两条切线与圆D的切点，

∵OA=（+1）R，

故在Rt△OBE中，

OE=R，BE=R，

则tan∠EOB=，

即∠EOB=30°，

故∠EOB=60°，即∠AOA′=60°，

故AA′=2a=OA=（3+）R，即a=，

根据圆锥曲线的定义，

可得球与长轴AA′的切点是椭圆的焦点F，

根据椭圆的几何性质，AF是焦点到长轴顶点的距离AF=a﹣c=R，

∴c==a，

所求椭圆的离心率e==，

故答案为：