Question

13．已知函数f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）求实数a的值及f（x）的极值；
（2）是否存在区间$（t，t+\frac{2}{3}）$（t＞0），使得f（x）在此区间上存在极值点和零点？若存在，求出实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）如果对任意x₁、x₂∈[e²，+∞]，有|f（x₁）-f（x₂）|≥k|$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$|，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行求得a的值，然后利用函数的导函数的符号求出函数的单调期间，则函数的极值可求；
（2）假设存在区间（t，t+$\frac{2}{3}$）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点，则得到关于t的不等式组，解此不等式组求得t的取值范围；
（3）由（I）的结论知，f（x）在[e²，+∞）上单调递减，然后构造函数F（x）=f（x）-$\frac{k}{x}$，由函数在[e²，+∞）上单调递减，则其导函数在在[e²，+∞）上恒成立，由此求得实数k的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$，得f′（x）=$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f′（1）=$\frac{1-a-ln1}{{1}^{2}}$=0，∴a=1，
∴f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，x＞0，f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，
故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；
（2）∵x＞1时，f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$＞0，
当x→0时，y→-∞，
由（I）得f（x）在（0，1）上单调递增，
∴由零点存在原理，f（x）在区间（0，1）存在唯一零点，函数f（x）的图象如图所示：

∵函数f（x）在区间（t，t+$\frac{2}{3}$），t＞0上存在极值和零点．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜t＜1＜t+\frac{2}{3}}\\{f（t）=\frac{1+lnt}{t}＜0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}$＜t＜$\frac{1}{e}$
∴存在符合条件的区间，实数t的取值范围为（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$）；
（3）由（1）的结论知，f（x）在[e²，+∞）上单调递减，
不妨设x1＞x2≥e2，则|f（x₁）-f（x₂）|≥k|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，
则f（x₂）-f（x₁）≥k（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$），
∴f（x₂）-$\frac{k}{{x}_{2}}$≥f（x₁）-$\frac{k}{{x}_{1}}$，
∴函数F（x）=f（x）-$\frac{k}{x}$在[e²，+∞）上单调递减，
又F（x）=f（x）-$\frac{k}{x}$=$\frac{1+lnx}{x}$-$\frac{k}{x}$，
∴F′（x）=$\frac{k-lnx}{{x}^{2}}$≤0在[e²，+∞）上恒成立，
∴k≤lnx在[e²，+∞）上恒成立．
在[e²，+∞）上（lnx）_min=lne²=2，
∴k≤2．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了函数零点的判定方法，训练了利用恒成立问题求参数的范围，综合考查了学生的逻辑思维能力和计算能力，是压轴题．