Question

7．在已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=2$\sqrt{3}$，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为64π．

Answer 1

分析 根据已知求出△ABC外接圆的半径，从而求出该三棱锥外接球的半径和三棱锥的外接球表面积．

解答 解：∵底面△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{3}$，BC=6，
∴cos∠BAC=$\frac{12+12-36}{2×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}}=-\frac{1}{2}$，∴sin∠BAC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴△ABC的外接圆半径r=$\frac{1}{2}×\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
所以三棱锥外接球的半径R²=r²+（$\frac{PA}{2}$）²=（2$\sqrt{3}$）²+2²=16，
所以三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR²=64π．
故答案为：64π．

点评 本题考查了三棱锥的外接球体积与计算能力的应用问题，确定三棱锥的外接球半径是解题的关键．