Question

4．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若0≤ax+by≤2，则$\frac{b+2}{a+1}$的最大值是4．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的范围，然后利用斜率的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：若0≤ax+by≤2，恒成立，
则只需要A（1，0），B（0，1），（0，0）满足不等式即可，
则$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤2}\\{0≤b≤2}\end{array}\right.$，$\frac{b+2}{a+1}$的几何意义是区域内的点到（-1，-2）的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：

则CF的斜率最大，此时C（0，2），
则$\frac{b+2}{a+1}$的最大值为$\frac{2+2}{0+1}=4$，
故答案为：4．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合进行转换是解决本题的关键．