Question

12．已知数列{x_n}满足x₁=1，x₂=λ，并且$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=λ$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n-1}}$（λ为非零常数，n=2，3，4，…）．
（Ⅰ）若x₁，x₃，x₅成等比数列，求λ的值；
（Ⅱ）设0＜λ＜1，常数k∈N^*，证明$\frac{{{x_{1+k}}}}{x_1}+\frac{{{x_{2+k}}}}{x_2}+…+\frac{{{x_{n+k}}}}{x_n}＜\frac{λ^k}{{1-{λ^k}}}（n∈{{N}^*}）$．

Answer 1

分析 （I）由于x₁=1，x₂=λ，并且$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=λ$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n-1}}$（λ为非零常数，n=2，3，4，…）．可得x₃，x₄，x₅．由于x₁，x₃，x₅成等比数列，可得${x}_{3}^{2}$=x₁•x₅，代入解出即可得出．
（II）设0＜λ＜1，常数k∈N^*，$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=λ$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n-1}}$，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=λ．可得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=λⁿ，利用“累乘求积”可得：x_n=$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n-1}}$$•\frac{{x}_{n-1}}{{x}_{n-2}}$•…•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$•x₁=${λ}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．可得$\frac{{x}_{n+k}}{{x}_{n}}$=${λ}^{\frac{{k}^{2}+2nk-k}{2}}$．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （I）解：∵x₁=1，x₂=λ，并且$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=λ$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n-1}}$（λ为非零常数，n=2，3，4，…）．
∴x₃=$λ×\frac{{λ}^{2}}{1}$=λ³，x₄=$λ×\frac{（{λ}^{3}）^{2}}{λ}$=λ⁶，x₅=$λ×\frac{（{λ}^{6}）^{2}}{{λ}^{3}}$=λ¹⁰．
∵x₁，x₃，x₅成等比数列，
∴${x}_{3}^{2}$=x₁•x₅，
∴（λ³）²=1×λ¹⁰，λ≠0，
化为λ⁴=1，
解得λ=±1．
（II）证明：设0＜λ＜1，常数k∈N^*，$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=λ$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n-1}}$，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=λ．
∴$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=λ•λ^n-1=λⁿ，
∴x_n=$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n-1}}$$•\frac{{x}_{n-1}}{{x}_{n-2}}$•…•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$•x₁=λ^n-1•λ^n-2•…•λ•1=${λ}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．

∴$\frac{{x}_{n+k}}{{x}_{n}}$=$\frac{{λ}^{\frac{（n+k）（n+k-1）}{2}}}{{λ}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$=${λ}^{\frac{{k}^{2}+2nk-k}{2}}$．
∴$\frac{{x}_{1+k}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2+k}}{{x}_{2}}$+…+$\frac{{x}_{n+k}}{{x}_{n}}$=${λ}^{\frac{{k}^{2}+k}{2}}$+${λ}^{\frac{{k}^{2}+3k}{2}}$+…+${λ}^{\frac{{k}^{2}+2nk-k}{2}}$=${λ}^{\frac{{k}^{2}+k}{2}}$•$\frac{1-{λ}^{nk}}{1-{λ}^{k}}$＜${λ}^{\frac{{k}^{2}+k}{2}}$$•\frac{1}{1-{λ}^{k}}$＜$\frac{{λ}^{k}}{1-{λ}^{k}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其等比数列的前n项和公式、“累乘求积”、递推关系、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．