Question

下列说法正确的个数是
①“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；
②“m=-1”是“直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件；
③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=

ac

”的既不充分也不必要条件；
④命题“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x₀³-x₀³+1＞0”（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题

分析：①中，根据△ABC中，sinA＞sinB?A＞B，判定①正确；
②中，m=-1时，两直线垂直；两直线垂直时，m=0，或m=-1，判定②错误；
③中，a，b，c成等比数列时，b=±

ac

，b=

ac

时，a，b，c不一定成等比数列，判定③正确；
④中，由命题P的否定是￢P，判定④正确．

解答： 解：对于①，“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是
“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”，它是真命题，
∴①正确；
对于②，当m=-1时，直线mx+（2m-1）y+1=0和3x+my+2=0垂直，充分性成立；
当直线mx+（2m-1）y+1=0和3x+my+2=0垂直时，3m+m（2m-1）=0，∴m=0，或m=-1，必要性不成立，
∴②错误；
对于③，当三个数a，b，c成等比数列时，b²=2ac，∴b=±

ac

，∴充分性不成立；
当b=

ac

时，a，b，c不一定成等比数列，如a=b=c=0，∴必要性不成立；
∴③正确；
对于④，命题“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x₀³-x₀³+1＞0”，
∴④正确．
以上正确的命题有3个，它们是①③④．
故选：C．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了正弦定理的应用，平面内两条直线垂直的判定，等比数列的应用，充分与必要条件，命题的否定等知识，是基础题．