Question

已知y=a ax2-x+1在（

1

2

，

2

3

）内满足对任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：由题意可知，问题转化为y=a ax2-x+1在（

1

2

，

2

3

）内是增函数，求a得取值范围，然后利用复合函数的单调性求解a的取值范围．

解答： 解：由题意可知，a＞0且a≠1．
函数在（

1

2

，

2

3

）内满足对任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，
说明函数在（

1

2

，

2

3

）内为增函数．
令t=ax²-x+1，
则y=a^t．
当a＞1时，外层函数y=a^t为增函数，
要使y=a ax2-x+1在（

1

2

，

2

3

）内为增函数，
则t=ax²-x+1在（

1

2

，

2

3

）内为增函数，
∵对称轴为x=

1

2a

＜

1

2

，
∴t=ax²-x+1在（

1

2

，

2

3

）内为增函数成立，
故a＞1符合题意；
当0＜a＜1时，外层函数y=a^t为减函数，
要使y=a ax2-x+1在（

1

2

，

2

3

）内为增函数，
则t=ax²-x+1在（

1

2

，

2

3

）内为减函数，
∵对称轴为x=

1

2a

＞

1

2

，
∴要使t=ax²-x+1在（

1

2

，

2

3

）内为减函数，
则

1

2a

≥

2

3

，解得0＜a≤

3

4

．
综上，y=a ax2-x+1在（

1

2

，

2

3

）内满足对任意x₁≠x₂，
都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立的a的取值范围是0＜a≤

3

4

或a＞1．
故答案为：0＜a≤

3

4

或a＞1．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了复合函数单调性的求法，是中档题．