Question

4．函数f（x）是定义域在R上的偶函数，且f（x）=-f（2-x），若f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）（　　）

• A． 在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
• B． 在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
• C． 在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
• D． 在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

Answer 1

分析 根据条件判断函数的周期性和对称性，利用函数单调性和奇偶性的关系进行判断即可．

解答 解：∵f（x）是定义域在R上的偶函数，且f（x）=-f（2-x），
∴f（x）=-f（2-x）=-f（x-2），
即f（x+2）=-f（x），
则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函数的周期是4，
∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴在区间[-2，-1]上是增函数，
∵f（x）=-f（2-x），
∴函数关于（1，0）成中心对称，
则函数在[0，1]上为减函数，则[-1，0]上为增函数，
则在[3，4]上为增函数，
故选：A．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，根据条件判断函数的周期性以及利用函数奇偶性和单调性，周期性的关系是解决本题的关键．