Question

13．已知函数f（x）=log₂（x+a）．
（1）当a=1时，若0＜f（1-2x）-f（x）$＜\frac{1}{2}$，求x的取值范围；
（2）若定义在R上的奇函数g（x）满足g（x+2）=-g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-1]上的函数表达式；
（3）对于（2）中的g（x），解关于x的不等式g（x）≥1-log₂3．

Answer 1

分析 （1）利用单调性得出0＜log₂$\frac{2-2x}{x+1}$$＜\frac{1}{2}$，且x＞-1，解不等式即可．
（2）利用奇偶性得出a=1，g（x+2）=-g（x），转化得出当0≤x≤1时，g（x）=log₂（x+1），当-1≤x≤0时，当-3≤x≤-2，当-2≤x≤-1求解即可．
（3）分类转化不等式为当0≤x≤1时，log₂（x+1）≥1-log₂3，当-1≤x≤0时，-log₂（1-x）≥1-log₂3，当-3≤x≤-2，log₂（-x-1））≥1-log₂3，当-2≤x≤-1，log₂（x+3））≥1-log₂3，分别求解不等式，得出并集即可．

解答 解：（1）∵当a=1时，f（x）=log₂（x+1），x＞-1
∴f（1-2x）=log₂（2-2x），
∵0＜f（1-2x）-f（x）$＜\frac{1}{2}$，
∴0＜log₂$\frac{2-2x}{x+1}$$＜\frac{1}{2}$，且x＞-1，
即1＜$\frac{2-2x}{1+x}$$＜\sqrt{2}$且x＞-1，
求解得出3-2$\sqrt{2}$$＜x＜\frac{1}{3}$，
故x的取值范围（3-2$\sqrt{2}$，$\frac{1}{3}$）
（2）∵g（x+2）=-g（x），
∴g（x+4）=g（x），
周期为：4，
∵当0≤x≤1时，g（x）=f（x），
∴当0≤x≤1时，g（x）=log₂（x+a），
∵定义在R上的奇函数g（x），
∴g（0）=0，即a=1，
∴当0≤x≤1时，g（x）=log₂（x+1），
∵当-1≤x≤0时，g（x）=-g（-x）=-log₂（1-x），
∴当-1≤x≤0时，g（x）=-log₂（1-x），
∵当-3≤x≤-2，则-1≤x+2≤0，g（x+2）=-log₂（-x-1）
∴当-3≤x≤-2，g（x）=log₂（-x-1）
∵当-2≤x≤-1，则0≤x+2≤1，g（x+2）=log₂（x+3）
∴当-2＜x≤-1，g（x）=-log₂（x+3）
综上g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（-x-1），-3≤x≤-2}\\{-lo{g}_{2}（x+3），-2＜x≤-1}\end{array}\right.$．
（3）∵g（x）≥1-log₂3．
∴当0≤x≤1时，log₂（x+1）≥1-log₂3，解集是[0，1]，
当-1≤x≤0时，-log₂（1-x）≥1-log₂3，解集是{x|-$\frac{1}{2}$≤x≤0}
当-3≤x≤-2，log₂（-x-1））≥1-log₂3，解集是{x|-3≤x≤-2}
当-2≤x≤-1，log₂（x+3））≥1-log₂3，解集是[-2，-1]．
综上解关于x的不等式g（x）≥1-log₂3．的解集为：{x|-3≤x≤-1或-$\frac{1}{2}$≤x≤1}

点评 本题考查了对数函数的性质，分类讨论的思想，考查了计算化简能力，属于中档题．