Question

2．已知函数$f（x）=4tanxsin（\frac{π}{2}-x）cos（x-\frac{π}{3}）-\sqrt{3}$；
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）求f（x）在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上的单调性与最值．

Answer 1

分析 （1）根据tanx有意义得出定义域；利用三角恒等变换化简f（x），得出f（x）的周期；
（2）根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调区间，根据单调性计算最值．

解答 解：（1）由tanx有意义得x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z．
∴f（x）的定义域是$\{x|x≠kπ+\frac{π}{2}，k∈Z\}$，
f（x）=4tanxcosxcos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$=4sinxcos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$sin²x-$\sqrt{3}$
=sin2x+$\sqrt{3}$（1-cos2x）-$\sqrt{3}$=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z．
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{11π}{12}$+kπ，k∈Z．
[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+kπ]∩[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]=[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]，
[$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{11π}{12}$+kπ]∩[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]=[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{12}$]，
∴f（x）在$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{4}]$上单调递增，在$[-\frac{π}{4}，-\frac{π}{12}]$上单调递减，
∴f（x）的最小值为f（-$\frac{π}{12}$）=-2，
又f（-$\frac{π}{4}$）=-1，f（$\frac{π}{4}$）=1，
∴f（x）的最大值为f（$\frac{π}{4}$）=1．

点评 本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．