Question

7．在四棱锥P-ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为45°
（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE；
（2）若CD=$\sqrt{3}$，求点B到平面PCD的距离．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定与性质定理可得CD⊥平面PAC，CD⊥AE．利用等腰三角形的性质与线面垂直的判定定理可得：AE⊥平面PCD，可得AE⊥PD．利用面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理可得AB⊥PD，进而证明结论．
（2）设点B的平面PCD的距离为d，利用V_B-PCD=V_P-BCD即可得出．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE．
∵PC与平面ABCD所成角为45°
∴AC=PA，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，
又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．
（2）解：CD=$\sqrt{3}$，可得AC=3，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴PC=3$\sqrt{2}$，
由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，
∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，
∵AC⊥CD，∴CD=ACtan30°=$\sqrt{3}$．
设点B的平面PCD的距离为d，则V_B-PCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$×d=$\frac{\sqrt{6}}{2}$d．
在△BCD中，∠BCD=150°，∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$sin150°=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴V_P-BCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{3\sqrt{3}}{4}$×3=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∵V_B-PCD=V_P-BCD，∴$\frac{\sqrt{6}}{2}$d=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，解得d=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
即点B到平面PCD的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了空间位置关系、线面面面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．