已知函数.
(1)若,讨论函数
在区间
上的单调性;
(2)若且对任意的
,都有
恒成立,求实数
的取值范围.
(1)参考解析;(2)
解析试题分析:(1)函数,
,所以可得函数
.通过对函数求导,以及对
讨论即可得到结论.
(2)由且对任意的
,将
换留下
一个参数,又
恒成立.构建新函数
,通过对函数求导得到
,对
的取值分类讨论即可得结论.
试题解析:(1)时,
,则
, 1分
当时,
,所以函数
在区间
上单调递减; 2分
当时,
,所以函数
在区间
上单调递增; 3分
当时,存在
,使得
,即
, 4分
时,
,函数
在区间
上单调递增, 5分
时,
,函数
在区间
上单调递减. 6分
(2)时,
,
恒成立,等价于
, 7分
记,
则, 8分
当,即
时,
,
在区间
上单调递减,
所以当时,
,即
恒成立; 10分
当,即
时,记
,则
,
存在,使得
,
此时时,
,
单调递增,
,即
,
所以,即
,不合题意; 12分
当时,
,不合题意; 13分
综上,实数
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