Question

已知函数f（x）=3+log₂^x，x∈[1，16]，若函数g（x）=[f（x）]²+2f（x²）．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求函数g（x）的最值．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）要使函数g（x）的解析式有意义，则

x∈[1，16] x2∈[1，16]

，解得函数g（x）的定义域；
（2）令t=log₂x，x∈[1，4]，则t∈[0，2]，y=g（x）=（t+5）²-10，结合二次函数的图象和性质可得函数g（x）的最值．

解答： 解：（1）要使函数g（x）的解析式有意义，
则

x∈[1，16] x2∈[1，16]

，
解得x∈[1，4]，
故函数g（x）的定义域为[1，4]，
（2）令t=log₂x，x∈[1，4]，
则t∈[0，2]，
y=g（x）=[f（x）]²+2f（x²）=（3+log₂x）²+2（3+log₂x²）=（log₂x+5）²-10=（t+5）²-10，
由函数y=（t+5）²-10的图象是开口朝上且以直线t=-5为对称轴的抛物线，
故函数y=（t+5）²-10在[0，2]上单调递增，
故当t=0时，y=g（x）取最小值15，
当t=2，y=g（x）取最大值39，

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，函数的最值，难度中档．