Question

设数列{a_n}的前n项和记为S_n，对任意正整数n满足3a_n-2=S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2n，记数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式T_n≤λ•a_n对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得3a₁-2=S₁，3a_n-1-2=S_n-1，从而得{a_n}是以a₁为首项，

3

2

为公比的等比数列，由此能求出a_n=（

3

2

）^n-1．
（2）先求出T_n=

n(2+2n)

2

=n2+n，从而不等式T_n≤λ•a_n等价于(n2+n)•(

2

3

)n-1≤λ，令f（n）=(n2+n)•(

2

3

)n-1，从而得到f（n+1）-f（n）=-

2n-1

3n

(n+1)(n-4)，由此能求出实数λ的取值范围．

解答： 解：（1）∵3a_n-2=S_n，
∴当n=1时，3a₁-2=S₁，解得：a₁=1，…（2分）
当n≥2时，3a_n-2=S_n，3a_n-1-2=S_n-1，
两式相减得：3a_n-3a_n-1=a_n，即

an

an-1

=

3

2

，…（5分）
∴{a_n}是以a₁为首项，

3

2

为公比的等比数列，
∴a_n=（

3

2

）^n-1．…（7分）
（2）∵b_n=2n，∴数列{b_n}的前n项和为T_n=

n(2+2n)

2

=n2+n，…（9分）
∴不等式T_n≤λ•a_n等价于(n2+n)•(

2

3

)n-1≤λ，
令f（n）=(n2+n)•(

2

3

)n-1，…（10分）
则f（n+1）-f（n）=[（n+1）²+（n+1）]•(

2

3

)n-（n²+n）•（

2

3

）^n-1=-

2n-1

3n

(n+1)(n-4)，…（12分）
∴当n≤4时，f（n+1）≥f（n），
当n≥4时，f（n+1）≤f（n），
即f（n）的最大值为f（4）=f（5）=

25×5

33

=

160

27

，…（14分）
∴λ≥

160

27

．…（15分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意构造法和等价转化思想的合理运用．