Question

18．设实数x，y满足3≤xy²≤8，4≤$\frac{x^2}{y}$≤9，则$\frac{x^3}{y^4}$的取值范围是27．

Answer 1

分析 首先分析题目求$\frac{x^3}{y^4}$的最大值的问题．不等式$\frac{x^3}{y^4}$的等价转换思想可得到$（\frac{{x}^{2}}{y}）^{2}•\frac{1}{x{y}^{2}}$，然后求解各个表达式的范围，即可求解$\frac{x^3}{y^4}$的最大值．

解答 解：因为实数x，y满足3≤xy²≤8，4≤$\frac{x^2}{y}$≤9，
则有：（$\frac{{x}^{2}}{y}$）²∈[16，81]，$\frac{1}{x{y}^{2}}$∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{3}$]，
再根据 $\frac{x^3}{y^4}$=$（\frac{{x}^{2}}{y}）^{2}•\frac{1}{x{y}^{2}}$∈[2，27]，即当且仅当x=3，y=1取得等号，
即$\frac{x^3}{y^4}$的最大值是27．
故答案为：27．

点评 本题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想，等价转换思想在考试中应用不是很广泛，但是对于特殊题目能使解答更简便，也需要注意，属于中档题．