Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，对分类讨论，根据导数的正负即可得出函数的单调性；（2）法一：对任意，都有恒成立等价于在上恒成立， 即在上恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，即可求得，从而可得实数的取值范围；法二：要使恒成立，只需，对进行和分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求出，即可实数的取值范围.

试题解析：（1）由题知： ,

当时, 在时恒成立

∴在上是增函数.

当时, ,

令，得 ；令,得 .

∴在上为增函数，在上为减函数.

（2）法一：由题知： 在上恒成立， 即在上恒成立.

令，所以

令得；令得.

∴在上单调递增，在上单调递减.

∴ ,

∴.

法二：要使恒成立，只需,

当时， 在上单调递增.

∴,即，这与矛盾，此时不成立.

当时,

（i）若即时， 在上单调递增，

∴，即，这与矛盾，此时不成立.

（ii）若即时， 在上单调递增，在上单调递减 .

∴即，解得.

又∵

∴ ,

（iii） 即时， 在 递减，则,

∴

又∵

∴；

综上所述可得： .