Question

【题目】过圆与轴正半轴的交点A作圆O的切线，M为上任意一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q．当点M在直线上运动时，△MAQ的垂心的轨迹方程为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

设点坐标，，由于，是过点的圆的两条切线，求出切点弦的方程，将其与圆的方程联立，可以得到点坐标，由于垂直于轴，于是垂线就垂直于轴，因此、横坐标相同．又、是圆的两条切线，于是，因此可知过中点，而由圆的对称性可知，也过的中点，于是可知、、三点共线．又直线的斜率知道了，点的横坐标知道了，于是点的纵坐标也出来了，则垂心的轨迹可求．

解：由题意设点坐标，，则以为直径的圆的方程为，

又圆的方程为，两式作差得：．

联立，解得或．

则点的横坐标为．

由于垂直于轴，于是垂线就垂直于轴，因此、横坐标相同．

又、是圆的两条切线，于是，因此可知为三角形的垂心）过中点，

而由圆的对称性可知，也过的中点，于是可知、、三点共线．

由直线的方程为，

代入点横坐标得点的纵坐标为．

三角形的垂心的轨迹方程为．

消掉得： ．

故答案为：