Question

【题目】设.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若，问：是否存在实数c使得对所有成立？证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；证明见解析；

【解析】

（1）根据已知条件证得数列是等差数列，由此求得，进而求得数列的通项公式.

（2）设，则.利用数学归纳法证得、.进而证得、，从而证得结论成立.

（1）当时，，，

两边平方得：.

从而是首项为，公差为1的等差数列，

故，

由于，即，

所以

（2）设，则.

先证：.①

当时，结论明显成立.

假设时结论成立，即.

由于在上为减函数，从而

.

即.这就是说，当时结论成立故①成立.

再证：.②

当时，，所以，即时②成立.

假设时，结论成立，即.

由①及在上为减函数，得

，

.

这就是说，当时②成立.所以②对一切成立.

由②得，

即，

因此③.

又由①②及在上为减函数，得，即.

.解得④.

综上，由②③④知，存在，使对一切成立.