Question

13．如图，直角三角形ABC中，∠BAC=60°，点F在斜边AB上，且AB=4AF．D，E是平面ABC同一侧的两点，AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AD=3，AC=BE=4．
（Ⅰ）求证：平面CDF⊥平面CEF；
（Ⅱ）点M在线段BC上，异面直线CF与EM所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$，求CM的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理得CF=2$\sqrt{3}$且CF⊥AB，AD⊥CF，从而CF⊥平面DABE，∠DFE为二面角D-CF-E的平面角．推导出∠DFE=90°，由此能证明平面CDF⊥平面CEF．
（Ⅱ）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，建立空间直角坐标系C-xyz，利用向量法能求出a的值．

解答 证明：（Ⅰ）∵直角三角形ABC中，∠BAC=60°，AC=4
∴AB=8，AF=$\frac{1}{4}$AB=2，由余弦定理得CF=2$\sqrt{3}$且CF⊥AB．
∵AD⊥平面ABC，CF?平面ABC，∴AD⊥CF，
又AD∩AB=A，∴CF⊥平面DABE，
∴CF⊥DF，CF⊥EF．
∴∠DFE为二面角D-CF-E的平面角．
又AF=2，AD=3，BE=4，BF=6，
故Rt△ADF∽Rt△BFE．∴∠ADF=∠BFE，
∴∠AFD+∠BFE=∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠DFE=90°，D-CF-E为直二面角．
∴平面CDF⊥平面CEF．…（6分）
解：（Ⅱ）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
则C（0，0，0），B（0，4$\sqrt{3}$，0），E（0，4$\sqrt{3}$，4），
F（3，$\sqrt{3}$，0），M（0，a，0），（0≤a≤4$\sqrt{3}$）
∴$\overrightarrow{CF}$=（3，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{EM}$=（0，a-4$\sqrt{3}$，-4），
∵异面直线CF与EM所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$，
∴|cos?$\overrightarrow{CF}$，$\overrightarrow{EM}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{EM}|}{|\overrightarrow{CF}|•|\overrightarrow{EM}|}$=$\frac{\sqrt{3}（4\sqrt{3}-a）}{2\sqrt{3}•\sqrt{（4\sqrt{3}-a）2+16}}$=$\frac{1}{4}$，
解得a=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，故CM=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．