Question

5．设S_n 是数列{a_n}的前 n 项和，若 a₁=1，a_n=S_n-1，（n≥2），则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n=S_n-1，（n≥2），可得a₂=S₁=a₁=1，a_n+1=S_n，a_n+1-a_n=a_n，即a_n+1=2a_n．再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n=S_n-1，（n≥2），∴a₂=S₁=a₁=1，a_n+1=S_n，a_n+1-a_n=a_n，即a_n+1=2a_n．
∴n≥2时，数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为2，∴${a}_{n}={2}^{n-2}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．