Question

7．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且$\sqrt{3}$csinA=acosC．
（Ⅰ）求C的值；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$a，b=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由已知和正弦定理可得$\sqrt{3}$sinCsinA=sinAcosC，约掉sinA由同角三角函数基本关系可得；
（II）由已知数据和余弦定理得a的方程，解方程代入三角形的面积公式可得．

解答 解：（I）∵△ABC中$\sqrt{3}$csinA=acosC，
∴由正弦定理可得$\sqrt{3}$sinCsinA=sinAcosC，
约掉sinA可得$\sqrt{3}$sinC=cosC，
∴tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由C为三角形内角可得C=$\frac{π}{6}$；
（II）∵c=$\sqrt{7}$a，b=2$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理得7a²=a²+12-4$\sqrt{3}$a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
整理可得a²+a-2=0，解得a=1或a=-2（舍去），
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题．