Question

11．已知函数f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$（0＜a＜1）的定义域为m＜x＜n，值域是log_a[a（n-1）]＜f（x）＜log_a[a（m-1）]．
（1）求证：m＞3；
（2）求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的定义域即可证明m＞3；
（2）求出函数的单调性结合对数函数的运算性质，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）证明：∵$\frac{x-3}{x+3}$＞0，∴x＞3或x＜-3，
由函数的定义域是（m，n），
故n＞m＞3或m＜n＜-3，
而值域是log_a[a（n-1）]＜f（x）＜log_a[a（m-1）]，
由对数函数的性质得m＞1，n＞1，
故m＞3；
（2）设g（x）=$\frac{x-3}{x+3}$=1-$\frac{6}{x+3}$，
∴g（x）在区间（3，+∞）递增，又∵0＜a＜1，
即f（x）是单调递减函数，
故$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{a}\frac{n-3}{n+3}{=log}_{a}[a（n-1）]}\\{{log}_{a}\frac{m-3}{m+3}{=log}_{a}[a（m-1）]}\end{array}\right.$，
故log_a$\frac{x-3}{x+3}$=log_a[a（x-1）]，
故$\frac{x-3}{x+3}$=a（x-1），
故ax²+（2a-1）x-3（a-1）=0有2个大于3的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{a{•3}^{2}+（2a-1）•3-3（a-1）＞0}\\{-\frac{2a-1}{2a}＞3}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查复合函数单调性的性质的应用，结合对数函数的性质是解决本题的关键．