Question

设函数的定义域为E，值域为F．
（1）若E={1，2}，判断实数λ=lg²2+lg2lg5+lg5﹣与集合F的关系；
（2）若E={1，2，a}，F={0，}，求实数a的值．
（3）若，F=[2﹣3m，2﹣3n]，求m，n的值．

Answer 1

(1);(2)或；(3).

解析试题分析：(1)将定义域的两个值代入求出值域,并化简，判定元素与集合的关系；
（2）令或,解出值，根据集合元素的互异性，求出值.
(3)先根据判定函数的单调性，然后讨论或时，定义域的端点和值域的端点的对应关系问题，从而列出方程组求解.
试题解析：解：（1）∵，∴当x=1时，f（x）=0；当x=2时，f（x）=，
∴F={0，}．
∵λ=lg²2+lg2lg5+lg5﹣16=lg2（lg2+lg5）+lg5﹣=lg2+lg5﹣=lg10﹣=．
∴λ∈F． （5分）
（2）令f（a）=0，即，a=±1，取a=﹣1；
令f（a）=，即，a=±2，取a=﹣2，
故a=﹣1或﹣2． （9分）
（3）∵是偶函数，且f'（x）=＞0，
则函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．
∵x≠0，∴由题意可知：或0＜．
若，则有，即，
整理得m²+3m+10=0，此时方程组无解；
若0＜，则有，即，
∴m，n为方程x²﹣3x+1=0，的两个根．∵0＜，∴m＞n＞0，
∴m=，n=．（16分）
考点：1.函数的定义域与值域的关系；2.函数的单调性与最值.