如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在AD1上移动,点N在BD上移动,D1M=DN=a(0<a<
),连接MN.
(1)证明对任意a∈(0,),总有MN∥平面DCC1D1.
(2)当a为何值时,MN的长最小?
(1)见解析 (2) 当a=
时,MN的长有最小值
【解析】(1)作MP∥AD,交DD1于P,作NQ∥BC,交DC于Q,连接PQ.
由题意得MP∥NQ,且MP=NQ,
则四边形MNQP为平行四边形.
∴MN∥PQ.
又PQ?平面DCC1D1,MN?平面DCC1D1,
∴MN∥平面DCC1D1.
(2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形,
∴MN=PQ,
由已知D1M=DN=a,DD1=AD=DC=1,
∴AD1=BD=
,
∴D1P∶1=a∶,DQ∶1=a∶,
即D1P=DQ=
.
∴MN=PQ=
=
=
(0<a<),
故当a=时,MN的长有最小值.
即当M,N分别移动到AD1,BD的中点时,MN的长最小,此时MN的长为.
一线名师提优试卷系列答案科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业（七）第二章第四节练习卷（解析版） 题型：选择题
若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=
,则f(x)的单调递减区间是( )
(A)(-∞,2] (B)[2,+∞)
(C)[-2,+∞) (D)(-∞,-2]
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科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十六第七章第五节练习卷（解析版） 题型：选择题
如图,PA⊥正方形ABCD,下列结论中不正确的是( )
(A)PB⊥CB (B)PD⊥CD
(C)PD⊥BD (D)PA⊥BD
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科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十八第七章第七节练习卷（解析版） 题型：解答题
如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.
求证:(1)BC1⊥AB1.
(2)BC1∥平面CA1D.
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科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十八第七章第七节练习卷（解析版） 题型：选择题
直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面π的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面π,则x的值为( )
(A)-2 (B)-
(C) (D)±
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科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十五第七章第四节练习卷（解析版） 题型：填空题
如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=
,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ= .
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科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十五第七章第四节练习卷（解析版） 题型：选择题
下面四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是( )
(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)③④
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科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十九第七章第八节练习卷（解析版） 题型：解答题
如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,又AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.
(1)求证:AE⊥平面A1BD.
(2)求二面角D-BA1-A的余弦值.
(3)求点B1到平面A1BD的距离.
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科目：高中数学 来源：2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十七第七章第六节练习卷（解析版） 题型：选择题
在坐标平面xOy上,到点A(3,2,5),B(3,5,1)距离相等的点有( )
(A)1个 (B)2个 (C)不存在 (D)无数个
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