Question

已知定义域是R上的函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，若x∈[

1

2

，1]时，不等式f（1+xlog₂7•log₇a）≤f（x-2）恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,对数的运算性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：f定义域是R的函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，x∈[

1

2

，1]时，不等式f（1+xlog₂7•log₇a）≤f（x-2）恒成立，可得x∈[

1

2

，1]时，1+xlog₂7•log₇a≤x-2，化为log₇a≤

x-3

x

log₇2，再利用函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵定义域是R的函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，x∈[

1

2

，1]时，不等式f（1+xlog₂7•log₇a）≤f（x-2）恒成立，
∴x∈[

1

2

，1]时，1+xlog₂7•log₇a≤x-2，
∴log₇a≤

x-3

x

log₇2，
∵x∈[

1

2

，1]，
∴

x-3

x

∈[-5，-2]
∴0≤a≤

1

32

，
故答案为：0≤a≤

1

32

．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．