Question

设方程（m+1）|e^x-1|-1=0的两根为x₁，x₂（x₁＜x₂），方程|e^x-1|-m=0的两根为x₃，x₄（x₃＜x₄），m∈（0，

1

2

），则（x₄+x₁）-（x₃+x₂）的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：由条件求得（x₄+x₁）-（x₃+x₂）=ln

m2+m

2-m-m2

．令t=

m2+m

2-m-m2

，则原式=lnt，利用不等式的基本性质求得

1

t

的范围，可得t的范围，从而求得lnt的范围，即为所求．

解答： 解：由方程（m+1）|e^x-1|-1=0的两根为x₁，x₂（x₁＜x₂），可得 1-ex1=

1

m+1

，ex2-1=

1

m+1

，
求得x₁=ln

m

m+1

，x₂=ln

m+2

m+1

．
由方程|e^x-1|-m=0的两根为x₃，x₄（x₃＜x₄），可得1-ex3=m，ex4-1=m，
求得x₃=ln（1-m），x₄=ln（1+m）．
∴（x₄+x₁）-（x₃+x₂）=lnm-ln

(2+m)(1-m)

m+1

=ln

m2+m

2-m-m2

．
令t=

m2+m

2-m-m2

，则原式=lnt，且 

1

t

=-1+

2

m2+m

=-1+

2

(m+ 1 2 )2- 1 4

．
由m∈（0，

1

2

），可得 0＜(m+

1

2

)2-

1

4

＜

3

4

，

2

(m+ 1 2 )2- 1 4

＞

8

3

，
∴

1

t

=-1+

2

(m+ 1 2 )2- 1 4

＞

5

3

，0＜t＜

3

5

，故原式=lnt∈（-∞，ln

3

5

 ），
故答案为：（-∞，ln

3

5

 ）．

点评：本题主要考查指数函数的综合应用，不等式的基本性质，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．