Question

5．已知四棱锥S-ABCD的底面为平行四边形，且SD⊥平面ABCD，AB=2AD=2SD，∠DCB=60°，M，N分别为SB，SC的中点，过MN作平面MNPQ分别与线段CD，AB相交于点P，Q，且$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{AB}$．
（1）当$λ=\frac{1}{2}$时，证明：平面MNPQ∥平面SAD；
（2）是否存在实数λ，使得二面角M-PQ-B为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出MN∥BC，MN∥BC，从而MN∥平面SAD，再求出MQ∥平面SAD，由此能证明平面MNPQ∥平面SAD．
（2）连结BD，交PQ于点R，则BC∥平面MNPQ，从而PQ∥BC∥AD，推导出AD⊥平面SBD，PQ⊥平面SBD，则∠MRB为二面角M-PQ-B的平面角，从而∠MRB=60°，过M作ME⊥DB于E，则ME∥SD，从而ME⊥平面ABCD，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵M，N分别是SB，SC的中点，∴MN∥BC，
由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，∴MN∥BC，
又MN?平面SAD，∴MN∥平面SAD，
∵λ=$\frac{1}{2}$，∴Q为AB的中点，∴MQ∥SA，
又MQ?平面SAD，∴MQ∥平面SAD，
∵MN∩MQ=M，∴平面MNPQ∥平面SAD．
解：（2）连结BD，交PQ于点R，
∵MN∥BC，∴BC∥平面MNPQ，
又平面MNPQ∩平面ABCD=PQ，
∴PQ∥BC∥AD，
在?ABCD中，AB=2AD，∠DCB=60°，∴AD⊥DB，
又SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AD，且SD∩DB=D，
∴AD⊥平面SBD，
∴PQ⊥平面SBD，∴∠MRB为二面角M-PQ-B的平面角，
∴∠MRB=60°，
∵过M作ME⊥DB于E，则ME∥SD，∴ME⊥平面ABCD，
设AD=SD=a，∴M为SB的中点，∴ME=$\frac{a}{2}$，DE=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
在Rt△MER中，ME=$\frac{a}{2}$，∠MRB=60°，∴RE=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$，
∴DR=DE-RE=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴$\frac{DR}{DB}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{1}{3}$，∵PQ∥AD，∴$λ=\frac{AQ}{AB}=\frac{DR}{DB}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查面面平行的证明，考查二面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．