Question

17．若不等式|b+2|-|b-2|≤a≤|b+2|+|2-b|对于任意b∈R都成立．
（1）求a的值；
（2）设x＞y＞0，求证：$2x-2y+\frac{1}{{{x^2}-2xy+{y^2}}}≥a-1$．

Answer 1

分析 （1）由|b+2|-|2-b|≤|b+2+2-b|=4，当且仅当b≥2时等号成立，4=|b+2+2-b|≤|b+2|+|2-b|，当且仅当-2≤b≤2时等号成立，即可求a的值；
（2）作差，利用基本不等式，即可证明结论．

解答 （1）解：|b+2|-|2-b|≤|b+2+2-b|=4，当且仅当b≥2时等号成立，4=|b+2+2-b|≤|b+2|+|2-b|，
当且仅当-2≤b≤2时等号成立，
∵对任意实数b，不等式|b+2|-|b-2|≤a≤|b+2|+|2-b|都成立．
∴a=4．
（2）证明：$2x+\frac{1}{{{x^2}-2xy+{y^2}}}-2y=（x-y）+（x-y）+\frac{1}{{{{（x-y）}^2}}}$，
∵x＞y＞0，∴$（x-y）+\;（x-y）\;+\frac{1}{{{{（x-y）}^2}}}≥3\root{3}{{（x-y）\;•\;（x-y）\;•\;\frac{1}{{{{（x-y）}^2}}}}}=3$，当且仅当x=y+1时等号成立，
∴$2x+\frac{1}{{{x^2}-2xy+{y^2}}}-2y≥3$，
即$2x-2y+\frac{1}{{{x^2}-2xy+{y^2}}}≥a-1$．

点评 本题考查绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用，正确变形是关键．