Question

20．已知一元二次方程（k+1）x²-2（k+7）x+k-5=0有实根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k在取值范围内取最大负整数时，若方程两实根为x₁，x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}-1}$的值多少？

Answer 1

分析 （1）由题意可得k+1≠0，且△≥0，解不等式即可得到所求范围；
（2）求得最大负整数为-2，再由二次方程的韦达定理，化简整理，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）由题意可得k+1≠0，
且△≥0，即4（k+7）²-4（k+1）（k-5）≥0，
解得k≥-3且k≠-1，
即k的范围是[-3，-1）∪（-1，+∞）；
（2）由k≥-3且k≠-1，且k为负整数，可得
k的最大值为-2，
即有二次方程为-x²-10x-7=0，
即x²+10x+7=0，
方程两实根为x₁，x₂，即有x₁+x₂=-10，x₁x₂=7，
则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$
=$\frac{14-（-10）}{7-（-10）+1}$=$\frac{4}{3}$．
即有$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}-1}$的值为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查二次方程的实根的分布，注意运用判别式大于等于0，考查二次方程的韦达定理的运用，以及化简整理的运算能力，属于基础题．