Question

12．设f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的正弦函数公式化简已知可得f（x）=sin2x-$\frac{1}{2}$，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．
（2）在锐角△ABC中，由f（$\frac{A}{2}$）=sinA-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，又a=1，b+c=2，利用余弦定理可得bc=1，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$=sin2x-$\frac{1}{2}$…3分
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（2）在锐角△ABC中，f（$\frac{A}{2}$）=sinA-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，…8分
∵a=1，b+c=2，
∴由余弦定理可得：1=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=（b+c）²-2bc-bc=4-3bc，
∴bc=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$…12分

点评 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基本知识的考查．