Question

11．已知$0＜α＜\frac{π}{2}$，$sinα=\frac{4}{5}$，$tan（α-β）=-\frac{1}{3}$，则tanβ=3；$\frac{{sin（2β-\frac{π}{2}）•sin（β+π）}}{{\sqrt{2}cos（β+\frac{π}{4}）}}$=$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，由$tan（α-β）=-\frac{1}{3}$利用两角差的正切函数公式即可解得tanβ的值，利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求值．

解答 解：∵$0＜α＜\frac{π}{2}$，$sinα=\frac{4}{5}$，
∴cos$α=\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{4}{3}$，
∵$tan（α-β）=-\frac{1}{3}$=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{\frac{4}{3}-tanβ}{1+\frac{4}{3}tanβ}$，
∴解得：tanβ=3，
∴$\frac{{sin（2β-\frac{π}{2}）•sin（β+π）}}{{\sqrt{2}cos（β+\frac{π}{4}）}}$=$\frac{cos2β•sinβ}{cosβ-sinβ}$=$\frac{\frac{co{s}^{2}β-si{n}^{2}β}{co{s}^{2}β+si{n}^{2}β}•sinβ}{cosβ-sinβ}$=$\frac{\frac{1-ta{n}^{2}β}{1+ta{n}^{2}β}•tanβ}{1-tanβ}$=$\frac{\frac{1-9}{1+9}×3}{1-3}$=$\frac{6}{5}$．
故答案为：$3\;，\;\;\frac{6}{5}$．

点评 本题主要考查了两角差的正切函数公式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．