Question

7．已知圆C：x²+（y-4）²=4，直线l：（3m+1）x+（1-m）y-4=0
（Ⅰ）求直线l所过定点A的坐标；
（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；
（Ⅲ）已知点M（-3，4），在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），
满足：对于圆C上任一点P，都有$\frac{|PM|}{|PN|}$为一常数，试求所有满足条件的点N的
坐标及该常数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直线系方程的特征，直接求解直线l过定点A的坐标．
（Ⅱ）当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题知C（0，4），r=2，求出AC的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可．
（Ⅲ）法一：由题知，直线MC的方程为y=4，假设存在定点N（t，4）满足题意，
则设P（x，y），$\frac{|PM|}{|PN|}=λ$，得|PM|²=λ²|PN|²（λ＞0），且（y-4）²=4-x²，求出λ，然后求解比值．
法二：设直线MC上的点N（t，4）取直线MC与圆C的交点P₁（-2，4），则$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{1}{|t+2|}$，取直线MC与圆C的交点P₂（2，4），则$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{5}{|t-2|}$，通过令$\frac{1}{|t+2|}=\frac{5}{|t-2|}$，存在这样的定点N满足题意，则必为$N（-\frac{4}{3}，4）$，然后证明即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意得，m（3x-y）+（x+y-4）=0，
令3x-y=0且x+y-4=0，得x=1，y=3∴直线l过定点A（1，3），
（Ⅱ）当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题知C（0，4），r=2，
∴${k_{AC}}=\frac{4-3}{0-1}=-1$，得${k_l}=\frac{-1}{{{k_{AC}}}}=\frac{-1}{-1}=1$，∴由$\frac{3m+1}{m-1}=1$得m=-1，
∴圆心到直线的距离为$d=|AC|=\sqrt{2}$，
∴最短弦长为$l=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$．
（Ⅲ）法一：由题知，直线MC的方程为y=4，假设存在定点N（t，4）满足题意，
则设P（x，y），$\frac{|PM|}{|PN|}=λ$，得|PM|²=λ²|PN|²（λ＞0），且（y-4）²=4-x²
∴（x+3）²+（y-4）²=λ²（x-t）²+λ²（y-4）²
∴（x+3）²+4-x²=λ²（x-t）²+λ²（4-x²）
整理得，（6+2tλ²）x-（λ²t²+4λ²-13）=0
∵上式对任意x∈[-2，2]恒成立，
∴6+2tλ²=0且λ²t²+4λ²-13=0
解得$t=-\frac{4}{3}，λ=\frac{3}{2}$或t=-3，λ=1（舍去，与M重合）
综上可知，在直线MC上存在定点$N（-\frac{4}{3}，4）$，使得$\frac{|PM|}{|PN|}$为常数$\frac{3}{2}$
法二：设直线MC上的点N（t，4）
取直线MC与圆C的交点P₁（-2，4），则$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{1}{|t+2|}$
取直线MC与圆C的交点P₂（2，4），则$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{5}{|t-2|}$
令$\frac{1}{|t+2|}=\frac{5}{|t-2|}$，解得$t=-\frac{4}{3}$或t=-3（舍去，与M重合），此时$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{3}{2}$
若存在这样的定点N满足题意，则必为$N（-\frac{4}{3}，4）$，
下证：点$N（-\frac{4}{3}，4）$满足题意，
设圆上任意一点P（x，y），则（y-4）²=4-x²
∴$\frac{{|PM{|^2}}}{{|PN{|^2}}}=\frac{{{{（x+3）}^2}+{{（y-4）}^2}}}{{{{（x+\frac{4}{3}）}^2}+{{（y-4）}^2}}}=\frac{{{x^2}+6x+9+4-{x^2}}}{{{x^2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}+4-{x^2}}}$=$\frac{6x+13}{{\frac{8}{3}x+\frac{52}{9}}}=\frac{6x+13}{{\frac{4}{9}（6x+13）}}$=$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{3}{2}$
综上可知，在直线MC上存在定点$N（-\frac{4}{3}，4）$，使得$\frac{|PM|}{|PN|}$为常数$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．