Question

20．经过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x平行，结合a，b，c和离心率公式，由此能求出双曲线的离心率．

解答 解：∵经过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，
倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，
∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x平行，
∴$\frac{b}{a}$=tan60°=$\sqrt{3}$，即b=$\sqrt{3}$a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2a，
e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，注意双曲线的渐近线方程的合理运用．