Question

12．设函数f（x）=2${\;}^{\sqrt{|x|+1}}$-$\frac{3}{1+{x}^{2}}$，则使得f（x²+$\frac{2}{3}$x+2）＞f（-x²+x-1）成立的x的取值范围是x＞-$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 根据函数的表达式可知函数f（x）为偶函数，判断函数在x大于零的单调性为递增，可得x²+$\frac{2}{3}$x+2＞x²-x+1，解不等式即可．

解答 解：f（x）=2${\;}^{\sqrt{|x|+1}}$-$\frac{3}{1+{x}^{2}}$，定义域为R，
∵f（-x）=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，
当x＞0时，f（x）=2${\;}^{\sqrt{|x|+1}}$-$\frac{3}{1+{x}^{2}}$，函数单调递增，
根据偶函数性质可知：得f（x²+$\frac{2}{3}$x+2）＞f（x²-x+1）成立，
∴x²+$\frac{2}{3}$x+2＞x²-x+1
∴x＞-$\frac{3}{5}$，
故答案为x＞-$\frac{3}{5}$．

点评 考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于中档题．