Question

某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤11）元时，每天多卖出的件数与x²+x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．
（Ⅰ）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法,函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由题意设出每天多卖出的件数k（x²+x），结合售价降低3元时，一天可多卖出36件求得k的值，然后写出商品一天的销售利润函数；
（Ⅱ）利用导数求出函数的极值点，求得极值，比较端点值后得到利润的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可设每天多卖出的件数为k（x²+x），
∴36=k（3²+3），
∴k=3．
又每件商品的利润为（20-9-x）元，每天卖出的商品件数为69+3（x²+x）．
∴该商品一天的销售利润为
f（x）=（11-x）[69+3（x²+x）]=-3x³+30x²-36x+759（0≤x≤11）．
（Ⅱ）由f′（x）=-9x²+60x-36=-3（3x-2）（x-6）．
令f′（x）=0可得x=

2

3

或x=6．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	0	(0， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，6)	6	（6，11）	11
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	759	↘	极小值747 4 9	↗	极大值975	↘	0

∴当商品售价为14元时，一天销售利润最大，最大值为975元

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了数学建模思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．