Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin\frac{π}{2}x-1，x＜0}\\{lo{g}_{a}x，x＞0}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
• B． （$\frac{\sqrt{5}}{5}$，1）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{5}$，1）
• D． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 求出函数f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：若x＞0，则-x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
∴f（-x）=sin（-$\frac{π}{2}$x）-1=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
则若f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，（x＜0）关于y轴对称，
则f（-x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1=f（x），即y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0，
设g（x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0，作出函数g（x）的图象，
要使y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0与f（x）=log_ax，x＞0的图象至少有3个交点，如图，
则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），
即-2＜log_a5，即log_a5＞log_aa^-2，则5＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，解得0＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故选：A．

点评 本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y轴对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度，属于中档题．