【错解分析】本题知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果很难获得. 对于(1),获得
f(0)的值进而取
x=-
y是解题关键;对于(2),判定
的范围是解题的焦点.
【正解】(1)由
f(
x)+
f(
y)=
f(
),令
x=
y=0,得
f(0)=0,
令
y=-
x,得
f(
x)+
f(-
x)=
f(
)=
f(0)=0.
∴
f(
x)=-
f(-
x).∴
f(
x)为奇函数.
(2)先证
f(
x)在(0,1)上单调递减.
令0<
x1<
x2<1,则
f(
x2)-
f(
x1)=
f(
x2)+
f(-
x1)=
f(
)
∵0<
x1<
x2<1,∴
x2-
x1>0,1-
x1x2>0,
∴
>0,又(
x2-
x1)-(1-
x2x1)=(
x2-1)(
x1+1)<0
∴
x2-
x1<1-
x2x1,∴0<
<1,
由题意知
f(
)<0,即
f(
x2)<
f(
x1).
∴
f(
x)在(0,1)上为减函数,又
f(
x)为奇函数且
f(0)=0.
∴
f(
x)在(-1,1)上为减函数.
【点评】对于抽象函数函数性质的讨论、计算和证明,解题技巧、综合运用各类知识和技能的要求非常高;特别是最近几年,以一种“定义新函数”的题型出现,突出考核学生的学习能力、应用能力和创新能力,不特别强调解题的技巧。具体的差别,可以通过例题的练习和讲解来得以区分。总之,关于抽象函数题的难度都是相当高的