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已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意xy∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明:
(1)f(x)为奇函数;
(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.
见解析

【错解分析】本题知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果很难获得. 对于(1),获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键;对于(2),判定的范围是解题的焦点.
【正解】(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,
y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.
f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减.
令0<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f()
∵0<x1<x2<1,∴x2x1>0,1-x1x2>0,
>0,又(x2x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0
x2x1<1-x2x1,∴0<<1,
由题意知f()<0,即f(x2)<f(x1).
f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0.
f(x)在(-1,1)上为减函数.
【点评】对于抽象函数函数性质的讨论、计算和证明,解题技巧、综合运用各类知识和技能的要求非常高;特别是最近几年,以一种“定义新函数”的题型出现,突出考核学生的学习能力、应用能力和创新能力,不特别强调解题的技巧。具体的差别,可以通过例题的练习和讲解来得以区分。总之,关于抽象函数题的难度都是相当高的
练习册系列答案
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③该函数的图象关于 (k∈Z)对称;
④当且仅当 (k∈Z)时,0<.
其中正确命题的序号是_______   (请将所有正确命题的序号都填上)

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是(  )
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已知
若函数不存在零点,则的范围是 (     )
A.B.C.D.

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