Question

已知0＜α＜

π

2

，cosα=

3

5

，tanβ=

1

3

．求下列式子的值：
（1）tanα；    
（2）cos（π-α）-sin（α+

π

2

）；  
（3）tan（α-2β）．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（1）依题意，利用sin²α+cos²α=1，即可求得sinα=

1-cos2α

=

4

5

，继而可得tanα； 
（2）利用cosα=

3

5

及诱导公式即可求得cos（π-α）-sin（α+

π

2

）；  
（3）利用二倍角的正切及两角差的正切公式即可求得tan（α-2β）的值．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）∵sin²α+cos²α=1，0＜α＜

π

2

，cosα=

3

5

，
∴sinα=

1-cos2α

=

4

5

，
∴tanα=

4

3

；  …（4分）
（2）cos（π-α）-sin（α+

π

2

）=-cosα-cosα=-

6

5

； …（8分）
（3）∵tanβ=

1

3

，∴tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

2× 1 3

1-( 1 3 )2

=

3

4

．…（10分）
∴tan（α-2β）=

tanα-tan2β

1+tanαtan2β

=

4 3 - 3 4

1+ 4 3 × 3 4

=

7

24

．…（12分）

点评：本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查三角函数间的关系式及二倍角的正切与两角差的正切公式的应用，属于中档题．