Question

已知函数，其中，是自然对数的底数.
（1）求函数的零点；
（2）若对任意均有两个极值点，一个在区间（1，4）内，另一个在区间[1，4]外，求a的取值范围；
（3）已知，且函数在R上是单调函数，探究函数的单调性.

Answer 1

（1）（2）（3）函数在R上是减函数

解析试题分析：（1）
把的零点问题转化为方程的根的问题.
（2）因为，由题设可知有两个两点，其中一个在，一个在外，解这个不等式，可得实数的取值范围.
（3）
由函数在R上是单调函数,所以,得到与的关系,然后由此关系推出.
试题解析：
解：（1），
令g(x)="0," 有e^x－1=0，即x=0；或 x²－2x－a=0；,
①当时，函数有1个零点 ；  1分
②当时，函数有2个零点；2分
③当时，函数有两个零点；3分
④当时，函数有三个零点：
   4分
（2），5分
设，的图像是开口向下的抛物线，
由题意对任意有两个不等实数根，
且则对任意,
即,有，7分
又任意关于递增, ,
故，所以.
所以的取值范围是  9分
（3）由(2)知, 存在，又函数在R上是单调函数，故函数在R上是单调减函数, 10分
对来说
即 11分  
所以对于函数来说
由知 12分
即对任意
故函数在R上是减函数.   13分
考点：1、函数的零点；2、利用导数研究函数的单调性；3、一元二次方程根的分布.