Question

△ABC中，tanA=

1

4

，tanB=

3

5

．若△ABC最大边的边长为

17

，则最小边的边长为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：利用两角和与差的正切函数公式列出关系式，将tanA与tanB的值代入求出tan（A+B）的值，进而确定出tanC的值，得到C的度数，由tanA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用正弦定理求出a的值，即为最小边长．

解答： 解：∵△ABC中，tanA=

1

4

，tanB=

3

5

，
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

1 4 + 3 5

1- 1 4 × 3 5

=1，即tanC=-tan（A+B）=-1，
∴C=

3π

4

，
∵tanA=

1

4

，
∴cos²A=

1

1+tan2A

=

16

17

，sinA=

1-cos2A

=

17

17

，
∵tanA＜tanB，∴A＜B，
∴a为最小边，
利用正弦定理

c

sinC

=

a

sinA

得：a=

csinA

sinC

=

17 × 17 17

2 2

=

2

．
故答案为：

2

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．