Question

12．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是等边三角形，且AA₁⊥底面ABC，M为AA₁的中点，N在线段AB上，且AN=2NB，点P在CC₁上．
（1）证明：平面BMC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）当$\frac{CP}{P{C}_{1}}$为何值时，有PN∥平面BMC₁？

Answer 1

分析 （1）连接B₁C，与BC₁交于O，连接MO，则MO⊥BC₁，取BC中点Q，连接AQ，OQ，则AQ∥MO，证明：MO⊥平面BCC₁B₁，即可证明平面BMC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）取AE=2EM，则NE∥BM，$\frac{CP}{P{C}_{1}}$=$\frac{1}{5}$时，EM∥PC₁，四边形EMPC₁是平行四边形，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接B₁C，与BC₁交于O，连接MO，则MO⊥BC₁，
取BC中点Q，连接AQ，OQ，则AQ∥MO，
∵CC₁⊥AQ，∴CC₁⊥MO，
∵BC₁∩CC₁=C₁，∴MO⊥平面BCC₁B₁，
∵MO?平面BMC₁，
∴平面BMC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）解：取AE=2EM，则NE∥BM，
∵NE?平面BMC₁，BM?平面BMC₁，
∴NE∥平面BMC₁，
$\frac{CP}{P{C}_{1}}$=$\frac{1}{5}$时，EM∥PC₁，四边形EMPC₁是平行四边形，∴MC₁∥EP，∴EP∥平面BMC₁，
∵NE∩EP=E，∴平面NEP∥∥平面BMC₁，
∴PN∥平面BMC₁．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查线面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．