Question

7．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，且小正方形与大正方形面积之比为4：9，则cos（α-β）的值为（　　）

• A． $\frac{5}{9}$
• B． $\frac{4}{9}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 0

Answer 1

分析 设大的正方形的边长为1，由已知可求小正方形的边长，可求cosα-sinα=$\frac{2}{3}$，sinβ-cosβ=$\frac{2}{3}$，且cosα=sinβ，sinα=cosβ，进而利用两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．

解答 解：设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为4：9，
可得：小正方形的边长为$\frac{2}{3}$，
可得：cosα-sinα=$\frac{2}{3}$，①sinβ-cosβ=$\frac{2}{3}$，②
由图可得：cosα=sinβ，sinα=cosβ，
①×②可得：$\frac{4}{9}$=cosαsinβ+sinαcosβ-cosαcosβ-sinαsinβ=sin²β+cos²β-cos（α-β）=1-cos（α-β），
解得：cos（α-β）=$\frac{5}{9}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．