Question

18．已知函数$f（x）=sin2x+sin（\frac{π}{3}-2x）$．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x值；
（Ⅱ）设函数$g（x）=f（\frac{π}{4}x）$，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点，求cos∠MPN的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简函数（x）为正弦型函数，利用正弦函数的图象与性质求出它的最大值以及此时对应的x值；
（Ⅱ）化简函数g（x），过D作MD⊥x轴于D，根据三角函数的对称性求出∠PMN=90°，再求cos∠MPN的值．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=sin2x+sin（\frac{π}{3}-2x）$
=sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x…（1分）
=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x$
=$sin（2x+\frac{π}{3}）$；…（3分）
∴f（x）的最大值为f（x）_max=1，…（4分）
此时$2x+\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}$，…（5分）
解得$x=kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$；…（6分）
（Ⅱ）函数$g（x）=f（\frac{π}{4}x）$=sin[2（$\frac{π}{4}$x）+$\frac{π}{3}$]=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$），…（7分）
过D作MD⊥x轴于D，如图所示；

∵PD=DM=1，
∴∠PMN=90°，…（9分）
计算PM=$\sqrt{2}$，MN=2PM=2$\sqrt{2}$，PN=$\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，…（11分）
∴$cos∠MPN=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（13分）

点评 本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的计算问题，是综合题．