Question

15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a²-4bc=0．
（1）当a=2，$m=\frac{5}{4}$时，求b、c的值；
（2）若角A为锐角，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a²-4bc=0．a=2，$m=\frac{5}{4}$时，代入解出即可得出．
（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．

解答 解：（1）由题意得b+c=ma，a²-4bc=0．
 当$a=2，m=\frac{5}{4}$时，$b+c=\frac{5}{2}$，bc=1．
解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=\frac{1}{2}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}b=\frac{1}{2}\\ c=2\end{array}\right.$．
（2）$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{{{（{b+c}）}^2}-2bc-{a^2}}}{2bc}=\frac{{{m^2}{a^2}-\frac{a^2}{2}-{a^2}}}{{\frac{a^2}{2}}}=2{m^2}-3∈（0，1）$．
∴$\frac{3}{2}＜{m^2}＜2$，又由b+c=ma可得m＞0，所以$\frac{{\sqrt{6}}}{2}＜m＜\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．