Question

6．四面体A-BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2$\sqrt{34}$，AD=BC=2$\sqrt{41}$，则四面体A-BCD外接球的表面积为（　　）

• A． 50π
• B． 100π
• C． 200π
• D． 300π

Answer 1

分析 由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2$\sqrt{34}$，2$\sqrt{41}$为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．

解答 解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以10，2$\sqrt{34}$，2$\sqrt{41}$为三边的三角形作为底面，
且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，
从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，
并且x²+y²=100，x²+z²=136，y²+z²=164，
设球半径为R，则有（2R）²=x²+y²+z²=200，
∴4R²=200，
∴球的表面积为S=4πR²=200π．
故选C．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．