Question

【题目】如图，在正方体中，点是线段上的动点，则下列说法正确的是______（填序号）

①无论点在上怎么移动，都有；

②无论点在上怎么移动，异面直线与所成角都不可能是；

③当点移动至中点时，直线与平面所成角最大；

④当点移动至中点时，才有与相交于一点，记为点，且.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

推导出平面可判断命题①的正误；设正方体的棱长为，求得的取值范围，可求得异面直线与所成角的余弦值的取值范围，进而可判断命题②的正误；利用线面角的定义可判断命题③的正误；可知三棱锥为正三棱锥，可得出点为正的中心，利用重心的性质可判断④的正误.综合可得出结论.

对于命题①，如下图所示，连接、、，

四边形为正方形，则，

平面，平面，，

，平面，，

同理可得，，平面，

平面，，命题①正确；

对于命题②，过点作平面，垂足为点，连接，设正方体的棱长为，

则且，所以，异面直线与所成角等于，

易知是边长为的等边三角形，当点在线段上运动时，，且，

异面直线与所成角都不可能是，命题②正确；

对于命题③，设点到平面的距离为，设直线与平面所成的角为，

当时，即当点为的中点时，取最小值，此时取最大值，

即当点移动至中点时，直线与平面所成角最大，命题③正确；

由①可知，平面，且，

则三棱锥为正三棱锥，则与平面的唯一交点为正的中心，

如下图所示：

连接并延长交于点，则为的中点，且为正的重心，

由重心的性质可知，命题④正确.

故答案为：①②③④.