Question

2．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表：

分数区间	甲班频率	乙班频率
[0，30）	0.1	0.2
[30，60）	0.2	0.2
[60，90）	0.3	0.3
[90，120）	0.2	0.2
[120，150）	0.2	0.1

（Ⅰ）若成绩120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；
（Ⅱ）根据以上数据完成下面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关系？

	优秀	不优秀	总计
甲班
乙班
总计

k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828
P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001

${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （I）计算乙班参加测试的90（分）以上的同学人数，以及120分以人数，利用列举法求出对应事件数，求出对应的概率值；
（II）计算甲、乙两班优秀与不优秀的人数，填写列联表，计算K²，对照数表得出概率结论．

解答 解：（I）乙班参加测试的90（分）以上的同学有20×（0.2+0.1）=6人，记为A、B、C、D、E、F；
其中成绩优秀120分以上有20×0.1=2人，记为A、B；
从这6名学生随机抽取两名的基本事件有：
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，
{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个…（3分）
设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有{A，C}，{A，D}，
{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个；…（5分）
所以$P（G）=\frac{8}{15}$；…（6分）
（II）计算甲班优秀的人数为20×0.2=4，不优秀的人数为16，乙班优秀人数为2，不优秀的人数为18，
填写列联表，如下；

	优秀	不优秀	总计
甲班	4	16	20
乙班	2	18	20
总计	6	34	40

…（8分）
计算K²=$\frac{40{×（4×18-2×16）}^{2}}{6×34×20×20}$≈0.7843＜2.706；…（10分）
所以在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．…（12分）

点评 本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题目．