Question

8．若函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）=（1-4m）$\sqrt{x}$在[0，+∞）上是增函数，则m=$\frac{1}{16}$，a=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 先根据g（x）的单调性求出m的范围，在分类讨论，根据指函数的单调性，求出a，m的值，问题得以解决

解答 解：∵函数g（x）=（1-4m）$\sqrt{x}$在[0，+∞）内是增函数，
∴1-4m＞0，
即m＜$\frac{1}{4}$，
∵函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1﹚在区间[-1，2]上的最大值为4，最小值为m，
当a＞1时，函数f（x）=a^x为增函数，
∴a^-1=m，a²=4，
解得a=2，m=$\frac{1}{2}$$＞\frac{1}{4}$（舍去），
当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x为减函数，
∴a^-1=4，a²=m，
解得a=$\frac{1}{4}$，m=$\frac{1}{16}$∈（-∞，$\frac{1}{4}$），
综上所述，a=$\frac{1}{4}$，m=$\frac{1}{16}$
故答案为：m=$\frac{1}{16}$，a=$\frac{1}{4}$，

点评 本题主要考查了指数函数的单调性，掌握性质很重要，属于基础题