Question

8．如图多面体ABCD中，面ABCD为正方形，棱长AB=2，AE=3，DE=$\sqrt{5}$，二面角E-AD-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，且EF∥BD．
（1）证明：面ABCD⊥面EDC；
（2）若直线AF与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{2}{3}$，求二面角AF-E-DC的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通过证明AD⊥DE，AD⊥DC，推出AD⊥平面EDC，得到面ABCD⊥面EDC．
（2）说明∠EDC是二面角E-AD-C的平面角．以O为坐标原点，$\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OE}$方向为x，y，z轴正方向建立直角坐标系O-xyz．求出相关点的坐标，ABCD的一个法向量为：$\overrightarrow{k}$=（0，0，1），设直线AF与平面ABCD所成角为θ，利用向量的数量积求解即可．求出面AEF的法向量，面EDC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角AF-E-DC的余弦值．

解答 （1）证明：∵AB=2，AE=3，$DE=\sqrt{5}$∴AD²+DE²=AE²∴AD⊥DE
又ABCD为正方形，∴AD⊥DC，
从而AD⊥平面EDC，
于是面ABCD⊥面EDC．…4分
（2）解：由（1）知AD⊥DE，AD⊥DC，
∴∠EDC是二面角E-AD-C的平面角．
作EO⊥DC交DC于O，则AO=DEcos∠EDO=1，
且EO⊥面ABCD．取AB中点M，则OM⊥DC．…6分
以O为坐标原点，$\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OE}$方向为x，y，z轴正方向建立直角坐标系O-xyz．
于是，E（0，0，2），D（0，-1，0），B（2，1，0），A（2，-1，0）；
得$\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{AE}=（-2，1，2）$，$\overrightarrow{EF}=λ\overrightarrow{DB}=（2λ，2λ，0）$；
∴$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=（2λ-2，2λ+1，2）$，
又面ABCD的一个法向量为：$\overrightarrow{k}$=（0，0，1），
设直线AF与平面ABCD所成角为θ，
则$Sinθ=|Cos＜\overrightarrow{AF}，\vec k＞|=\frac{2}{{\sqrt{{{（2λ-2）}^2}+{{（2λ+1）}^2}+4}}}=\frac{2}{3}$
得λ=0（舍去）或$λ=\frac{1}{2}$，…9分，
∴$\overrightarrow{AF}=（-1，2，2），\overrightarrow{EF}=（1，1，0）$，
设面AEF的法向量为$\vec n=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}\vec n•\overrightarrow{AF}=0\\ \vec n•\overrightarrow{EF}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-x+2y+2z=0\\ x+y=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=-y\\ z=-\frac{3}{2}y\end{array}\right.$
取y=2，∴$\vec n=（-2，2，-3）$；
又面EDC的一个法向量为$\vec i=（1，0，0）$，
∴$Cos＜\vec n，\vec i＞=\frac{\vec n•\vec i}{|\vec n||\vec i|}=-\frac{{2\sqrt{17}}}{17}$…11分
又二面角AF-E-DC为锐角，所以其余弦值为$\frac{{2\sqrt{17}}}{17}$…12分．

点评 本题考查直线与平面垂直的判断，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力．