Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）对任意的实数x均存在f（a）≤f（x）≤f（0），且|a|的最小值为

π

2

，则函数f（x）的单调递减区间为

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：

分析：根据条件f（a）≤f（x）≤f（0），确定函数的最大值和最小值，进而确定φ的值，由|a|的最小值为

π

2

，得到函数的最小周期，解得ω=2，然后根据三角函数的单调性即可求出函数的单调减区间．

解答： 解：∵对任意的实数x均存在f（a）≤f（x）≤f（0），
∴f（0）为函数的最大值，f（a）为函数最小值．
即f（0）=sinφ=1，即φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴f（x）=sin（ωx+

π

2

+2kπ）=cosωx，
∵f（a）为函数最小值．
∴f（a）=cos（aω）=-1，
∵|a|的最小值为

π

2

，
∴|a|的最小值为

T

2

，
即

T

2

=

π

2

，∴最小周期T=π，
此时T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=cos2x，
由2kπ≤2x≤2kπ+π，
即kπ≤x≤kπ+

π

2

，
即函数的单调递减区间为[kπ，kπ+

π

2

]，k∈Z，
故答案为：[kπ，kπ+

π

2

]，k∈Z．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的三角公式和三角函数的性质．